کنترل و ابزار دقیق

تجزیه وتحلیل خطای حالت ماندگار در یک سیستم کنترلی

تجزیه وتحلیل خطای حالت ماندگار در یک سیستم کنترلی

خطای حالت ماندگار چیست؟
خطای حالت ماندگار به عنوان تفاوت بین مقدار مطلوب و مقدار واقعی یک خروجی سیستم در زمانی که به بی نهایت می رسد تعریف می شود. (یعنی وقتی پاسخ سیستم کنترل به حالت ماندگار رسیده باشد).
خطای حالت ماندگار یک ویژگی پاسخ در ورودی – خروجی برای یک سیستم خطی است. به طور کلی ، یک سیستم کنترل خوب سیستمی است که دارای خطای حالت ماندگار پایین باشد.
ابتدا با تجزیه و تحلیل خطای حالت ماندگار ، پاسخ حالت ماندگار در یک تابع انتقال مرتبه اول را مورد بحث قرار خواهیم داد. بیایید عملکرد تابع انتقال زیر را بررسی کنیم.

این یک تابع انتقال مرتبه اول ساده است و دارای یک گین برابر با یک و ثابت زمانی ۰٫۷ ثانیه است. . توجه داشته باشید که این به عنوان یک تابع انتقال مرتبه اول شناخته می شود. زیرا توان sدر مخرج دارای بیشترین توان ‘۱’ است. اگر  به جای آن باشد آن یک تابع انتقال مرتبه دوم خواهد بود.
پاسخ این تابع انتقال به یک ورودی با حالت ماندگار در شکل ۱ نشان داده شده است. می بینید که در حالت ماندگار ، خروجی دقیقا برابر با ورودی است. از این رو خطای حالت ماندگار صفر است.

پاسخ حالت ماندگار تابع انتقال مرتبه اول
پاسخ حالت ماندگار تابع انتقال مرتبه اول
شکل ۱:

این پاسخ زمان تابع انتقال مرتبه اول مخالف مرحله ورودی است. دیده می شود که خطای حالت ماندگار صفر است
پاسخ این عملکرد به ورودی رمپ واحد در شکل ۲ نشان داده شده است. می بینید که در حالت ماندگار بین ورودی و خروجی تفاوت وجود دارد. از این رو برای ورودی رمپ واحد ، یک خطای حالت ماندگار وجود دارد.

پاسخ خطای حالت ماندگار تابع انتقال

 

شکل ۲:

این پاسخ عملکرد زمانی تابغ انتقال مرتبه اول در برابر ورودی رمپ است. می بینید که خطای حالت ماندگار در این حالت وجود دارد
توجه داشته باشید که در بسیاری از کتابهای سیستم کنترل می توانید متوجه شوید که در مقابل ورودی رمپ ، خطای حالت ماندگار یک تابع انتقال مرتبه اول برابر با ثابت زمانی است. از مشاهده شکل ۲ ، می توان دریافت که این واقعیت دارد. در زمان t = 3 ثانیه ، ورودی ۳ و خروجی ۲٫۳ است. از این رو خطای حالت ماندگار ۰٫۷ است که برابر با ثابت زمانی برای این تابع انتقال مرتبه اول است.

لطفاً نکات مهم زیر را به خاطر بسپارید:

• خطای حالت ماندگار بالاترین است اگر ورودی سهمی وار باشد (توان آن بالاتر باشد ۲ ۳ و …) ، به طور کلی برای ورودی رمپ کمتر است و حتی برای ورودی پله حتی کم تر است. همانطور که در توضیحات بالا ، خطای حالت ماندگار در برابر تابع پله ورودی صفر است ، و در برابر ورودی رمپ ۰٫۷ است ، می توان دریافت که در برابر ورودی سهمی وار یا توان ۲ بی نهایت ∞ است.

• لازم به ذکر است که خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی دارد ، در حالی که ماندگاری به ورودی بستگی ندارد.
بیایید یک سیستم کنترل حلقه بسته با تابع انتقال زیر را در نظر بگیریم.

جایی که نمادها معنای معمول خود را دارند. ماندگاری سیستم به مخرج یعنی :

‘۱+G(s)H(s)’. ‘۱+G(s)H(s) = 0’ بستگی دارد که معادله مشخصه نامیده می شود ریشه های آن نشان دهنده ماندگاری سیستم است. خطای حالت ماندگار به (s)R بستگی دارد.
در سیستم کنترل حلقه بسته ، سیگنال خطا می توان با این فرمول محاسبه کرد. خطای حالت ماندگار می تواند به عنوان e ss =

یافت شود ، که خطای حالت ماندگار مقدار سیگنال خطا در حالت ماندگار است و از این می توانیم ببینیم که خطای حالت ماندگار به (s)R بستگی دارد.

• همانطور که در بالا ذکر شد به مخرج یعنی ۱+G(s)H(s) بستگی دارد . در اینجا “۱” ثابت است ، بنابراین پایداری بستگی به G (s ) H(s) دارد ، که بخشی از معادله

است که می تواند تغییر کند. بنابراین ، می توانید نمودار Bode را درک کنید ، نمودار Nyquist با کمک G (s )H(s) ترسیم می شود ، اما نشان دهنده ماندگاری 

هستند .
• G (s ) H (s) یک تابع انتقال حلقه باز نامیده می شود و   یک تابع انتقال حلقه بسته نامیده می شود. با تجزیه و تحلیل تابع انتقال حلقه باز یعنی G (s ) H(s)

، می توان پایداری تابع انتقال حلقه بسته را از طریق نمودار Bode و نمودار Nyquist پیدا کرد .

در ادامه

اکنون ، ما خطای حالت ماندگار در سیستم کنترل حلقه بسته را با چند مثال عددی توضیح خواهیم داد:
مثال-۱:
سیستم کنترل زیر (سیستم-۱) را همانطور که در شکل ۳ نشان داده شده است در نظر بگیرید:

 

شکل -۳: سیستم حلقه بسته

ورودی مرجعRs یک تابع پله واحد است.
مقادیر مختلف حالت ماندگار System-1 در شکل ۴ نشان داده شده است.

شکل -۴: مقادیر مختلف حالت ماندگار در یک سیستم کنترل

می توان مشاهده کرد که مقدار حالت ماندگار، سیگنال خطا ۰٫۵ است ، از این رو خطای حالت ماندگار ۰٫۵ است.

اگر سیستم ماندگار باشد و سیگنال های مختلف ثابت باشد ،

می توان مقادیر مختلفی از حالت ماندگار را به شرح زیر بدست آورد:
در تابع انتقال به عنوان ، حالت پایدار گین تابع انتقال را بدست می آورید.
می توانید خروجی را به شرح زیر محاسبه کنید:

به یاد دارید که = تابع پله واحد= ، می توانیم این را دوباره تنظیم کنیم:

مقدار حالت ماندگار خروجی:

 

می توان از روش فوق برای محاسبه مقدار حالت ماندگار هر سیگنال استفاده کرد. برای مثال:

ورودی تابع پله واحد    ورودی

مقدار حالت ماندگار آن ۱ =

به همین ترتیب ، سیگنال خطا می تواند به صورت زیر محاسبه شود:

مقدار حالت ماندگار سیگنال خطا (یعنی خطای حالت ماندگار):

همچنین

، از شکل ۴ می توان دریافت که اختلاف بین ورودی و خروجی ۵/۰ است.

از این رو خطای حالت ماندگار ۰٫۵ است.

روش دیگر برای محاسبه خطای حالت ماندگار به شرح زیر است:
محاسبه ضریب خطا موضعی Kp= ، در می یابید که Kp=1 ،

. همان جواب را پیدا خواهید کرد. ess=

اگر ورودی یک تابع پله واحد باشد.

، سپس خطای حالت ماندگار e ss =

اگر ورودی ورودی واحد شیب باشد ، پس از آن محاسبه، ضریب خطا سرعت Kv  = ess=

اگر ورودی ورودی سهمی وار واحد باشد ، آنگاه محاسبه ، ضریب خطای سرعت  Ka = ، e ss = .

با تجزیه و تحلیلKp ، KV وKa ، شما می توانید درک کنید که چگونه خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی دارد.

خطای کنترل کننده و خطای حالت ثابت

کنترل کننده PI(کنترل کننده تناسبی به همراه کنترل کننده انتگرالی) خطای حالت ماندگار را کاهش می دهد (ess)، اما دارای اثر منفی بر ثبات است.

کنترل کننده های PI از این مزیت برخوردار هستند که خطای حالت ماندگار یک سیستم را کاهش می دهند

، در حالی که این عیب را نیز دارد که ثبات سیستم را کاهش می دهد.
یک کنترلر PI باعث کاهش پایداری می شود. این بدان معنی است که میرایی کاهش می یابد.

اورشوت و زمان نشست به دلیل کنترل کننده PI افزایش می یابد.

ریشه های معادله مشخصه (قطب های تابع انتقال حلقه بسته) در سمت چپ به محور موهومی نزدیک تر می شوند.

همچنین درجه سیستم به دلیل کنترل کننده PI افزایش می یابد که تمایل به کاهش ماندگاری دارد.

دو معادله مشخصه را در نظر بگیرید

، یکی s 3 + s 2 + 3s + 20 = 0 ، دیگری s 2 + 3s + 20 = 0 است. فقط با مشاهده ، می توانیم بگوییم که سیستم مربوط به معادله اول نسبت به معادله دوم از پایداری کمتری برخوردار است. با پیدا کردن ریشه های معادله می توانید آن را تأیید کنید. بنابراین ، در می یابید که معادلات مشخصه مرتبه بالاتر از ماندگاری کمتری برخوردار هستند.

در حال حاضر، ما یک کنترل کننده PI(تناسبی به علاوه کنترل کننده انتگرالی) در سیستم-۱ (شکل ۳) اضافه می کنیم و نتایج را بررسی می کنیم. پس از قرار دادن کنترل کننده PI در سیستم-۱، مقادیر مختلف حالت ماندگار در شکل ۵ نشان داده شده،که میتوانید ببینید که در آن خروجی دقیقا با ورودی مرجع برابر است. این مزیت کنترلر PI است که خطای حالت ماندگار را به حداقل می رساند به طوری که خروجی سعی می کند ورودی مرجع را دنبال کند.

شکل -۵: اثر کنترل کننده PI را می توان در این نمودار مشاهده کرد

تابع انتقال کنترلر PI را می توان بر حسب یا می توان بر حسب حساب کرد. یک سؤال می توان پرسید که اگر ورودی هر تابع انتقال صفر باشد ، خروجی آن نیز باید صفر باشد. اما ، در این حالت که ورودی به کنترلر PI صفر است ، خروجی کنترل کننده PI یک مقدار محدود (یعنی ۱) است. این توضیحات در هیچ کتاب سیستم کنترل ارائه نشده است ، از این رو ما در اینجا توضیح خواهیم داد:

(۱) خطای حالت ماندگار دقیقاً صفر نیست ، تمایل آن به صفر است ، به همین ترتیب ریشه تابع برابر صفر نیست ،بلکه تمایل به صفر دارد ، بنابراین در هر صورت اجازه دهید خطای حالت ماندگار۲×۱۰ -۳، در همان زمان باشد ( به خصوص صحبت ما در مورد ‘S’ در مخرج کنترل کننده PI است ) ‘S’نیز برابر با ۲×۱۰ -۳است . از این رو خروجی کنترل کننده PI برابر ۱ است.
بیایید یک سیستم کنترل دیگری که در شکل ۶ نشان داده شده است را در نظر بگیریم
:

شکل -۶: نمونه ای از سیستم کنترل حلقه بسته با کنترل کننده PI

در این مورد، می توان گفت، در هر لحظه فرض کنید، خطای حالت ماندگار ۲×۱۰ -۳ است .در همان زمان ‘S’ است برابر با ۴×۱۰-۳ ؛ از این رو خروجی کنترلر PI برابر۰٫۵ است. این بدان معنی است که هر دو، essو s هر دو تمایل به صفر دارند، اما نسبت آنها یک مقدار محدود است.
در کتابهای سیستم کنترل هرگز s = 0 یا t = find را پیدا نخواهید کرد. شما همیشه مقدار های زیر را مشاهده خواهید کرد

(۲) توضیح دوم این است که خطای حالت ماندگار صفر است ، ‘s’ در حالت ماندگار نیز صفر است.

تابع انتقال کنترلر PI است . در کتب ریاض‍یات خواهید دید که تعریف نشده است ،

بنابراین می تواند هر مقدار محدودی باشد (به شکل ۷ مراجعه کنید).

شکل -۷: ورودی به تابع انتقال صفر است اما خروجی یک مقدار محدود است

(۳) توضیح سوم اینکه انتنگرال گیر است. ورودی صفر است ، انتگرال صفر تعریف نشده است.

بنابراین ممکن است خروجی کنترلر PI هر مقدار متناهی ای باشد.

یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل حلقه باز و سیستم کنترل حلقه بسته

در رابطه با توضیحات فوق ، ما یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل حلقه باز و سیستم کنترل حلقه بسته را توضیح خواهیم داد. شما میتوانید تفاوت در سیستم کنترل حلقه باز و سیستم کنترل حلقه بسته ، را در هر کتاب از سیستم کنترل پیدا کنید ، اما یکی از تفاوت های اساسی مربوط به توضیحات فوق در اینجا آورده شده است و حقیقتا امیدواریم که برای خوانندگان مفید باشد.
یک سیستم کنترل حلقه باز می تواند به شرح زیر باشد:

شکل ۸: این یک نمودار از سیستم کنترل حلقه باز استاندارد است

سیستم کنترل حلقه بسته (سیستم کنترل بازخورد) به شرح زیر ارائه می شود:


شکل ۹: این یک نمودار از سیستم کنترل حلقه بسته بسته استاندارد است

تابع انتقال سیستم ثابت است (تابع انتقال سیستم به دلیل تغییر محیط ، اختلالات و غیره می تواند به طور خودکار تغییر یابد) در تمام بحث ما H(s)=1فرض کرده ایم ؛ یک اپراتور می تواند تابع انتقال کنترلر را کنترل کند( یعنی پارامترهای کنترلر K p ، K d ، K i را تغییر دهد)
این کنترلر می تواند کنترل کننده تناسبی (کنترل کننده P)، کنترل کننده PI ، کنترل کننده PD ، کنترل کننده PID ، کنترل کننده منطق فازی و غیره باشد. ما دو انتظار از یک کنترلر داریم

(الف) حفظ پایداری ، یعنی میرایی باید در حدود ۰٫۷-۰٫۹ باشد. و زمان نشست و استقرار باید کم باشد
(ب) خطای حالت ماندگار باید حداقل باشد (باید صفر باشد.)

اما اگر ما سعی در افزایش میرایی داشته باشیم ، ممکن است خطای حالت ماندگار افزایش یابد.

بنابراین طراحی کنترلر باید به گونه ای باشد که هر دو (خطای ماندگاری و حالت ماندگار) در کنترل باشند.

طراحی بهینه کنترلر یک موضوع تحقیق گسترده است.

پیش از این توضیح دادیم که، کنترل کننده PI خطای حالت ماندگار را کاهش می دهد(ess) اما به شدت اثر منفی بر پایداری آن دارد
حال ، یک تفاوت اساسی بین سیستم کنترل حلقه باز و سیستم کنترل حلقه بسته را توضیح خواهیم داد که مربوط به توضیحات فوق است.
شکل ۱۰ را در نظر بگیرید؛ این یک سیستم کنترل حلقه باز است.


شکل -۱۰: یک سیستم کنترل حلقه باز

ورودی یک تابع پله واحد است. بنابراین ، مقدار ماندگار ورودی “۱” است. می توان محاسبه کرد که مقدار ماندگار خروجی “۲” است. فرض کنید به هر دلیلی تغییر در تابع انتقال [G (s)] سیستم ایجاد شده باشد ، تأثیر آن بر ورودی و خروجی چه خواهد بود؟ پاسخ این است که ورودی سیستم تغییر نخواهد کرد ، خروجی سیستم تغییر خواهد کرد.
حالا شکل -۱۱ و ۱۲ را در نظر بگیرید


شکل ۱۱: سیستم کنترل حلقه بسته

شکل -۱۲: سیستم حلقه بسته ، خروجی کارخانه یکسان است اما ورودی سیستم به دلیل تغییر در تابع انتقال تغییر می کند

هر دو سیستم کنترل حلقه بسته هستند .

در شکل ۱۱ ، فرض کنید به هر دلیلی تغییری در تابع انتقال کارخانه ایجاد شده است ،

تأثیر آن بر ورودی و خروجی چیست؟

در این حالت ، ورودی به سیستم تغییر می کند ، خروجی سیستم بدون تغییر باقی می ماند.

خروجی سیستم سعی می کند ورودی مرجع را دنبال کند.

شکل -۱۲ شرایط جدید را نشان می دهد ، که در آن پارامترهای سیستمی تغییر می کنند.

مشاهده می کنید ورودی سیستم از ۰٫۵ به ۰٫۴۷۶ تغییر یافته ، در حالی که خروجی تغییر نمی کند.

در هر دو مورد ورودی به کنترلر PI صفر است ،

مشخصات کنترلر PI یکسان است اما خروجی کنترلر PI متفاوت است.
بنابراین ، شما در میابید که ، در سیستم حلقه باز خروجی کارخانه تغییر می کند

در حالی که در سیستم کنترل حلقه بسته ورودی به سیستم تغییر می کند.
در کتابهای سیستم کنترل می توانید عبارت زیر را پیدا کنید:
“در صورتی که پارامتر تابع انتقال سیستم متغیر باشد ،

سیستم کنترل حلقه بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه باز حساسیت کمتری دارد

” (یعنی تغییر در خروجی سیستم کنترل حلقه بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه باز کمتر است).

لینک مرتبط :

تست چاه ارت -تست ارتینگ – باید ها و نباید ها و تردیدها

لینک زبان اصلی:

Analysis of Steady State Error in a Control System

محسن ترابی

مهندس برق قدرت، فوق لیسانس برق قدرت از دانشگاه سراسری یزد، موسس ماه صنعت، متخصص در ژنراتور، دیزل، طراحی و ساخت موتورهای الکتریکی، سنکرون و سیستم های حفاظت الکتریکی به خصوص حفاظت ژنراتور. دارای گواهی ثبت اختراع ساخت موتور PMSM‌ معکوس گرد. هدف از ایجاد این وبسایت و مقالات آن آموزش در راستای توسعه ی صنعت برق کشور عزیزمان ایران می باشد و سعی می کنم مقالات کاربردی در راستای این هدف در وبسایت انتشار بدهم

نوشته های مشابه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

دکمه بازگشت به بالا
بستن
بستن