کنترل و ابزار دقیق, مقالات
تجزیه وتحلیل خطای حالت ماندگار در یک سیستم کنترلی
خرداد
تجزیه وتحلیل خطای حالت ماندگار در یک سیستم کنترلی
خطای حالت ماندگار چیست؟
خطای حالت ماندگار به عنوان تفاوت بین مقدار مطلوب و مقدار واقعی یک خروجی سیستم در زمانی که به بی نهایت می رسد تعریف می‌شود. (یعنی وقتی پاسخ سیستم کنترل به حالت ماندگار رسیده باشد).
خطای حالت ماندگار یک ویژگی پاسخ در ورودی – خروجی برای یک سیستم خطی‌است. به طور کلی ، یک سیستم کنترل خوب سیستمی‌است که دارای خطای حالت ماندگار پایین‌باشد.
ابتدا با تجزیه و تحلیل خطای حالت ماندگار ، پاسخ حالت ماندگار در یک تابع انتقال مرتبه اول را مورد بحث قرار خواهیم داد. بیایید عملکرد تابع انتقال زیر را بررسی کنیم.
این یک تابع انتقال مرتبه اول ساده است و دارای یک گین برابر با یک و ثابت زمانی 0.7 ثانیه‌است. . توجه داشته باشید که این به عنوان یک تابع انتقال مرتبه اول شناخته‌می‌شود. زیرا توان sدر مخرج دارای بیشترین توان ‘1’ است. اگر 
به جای آن‌باشد آن یک تابع انتقال مرتبه دوم خواهد‌بود.
پاسخ این تابع‌انتقال به یک ورودی با حالت ماندگار در شکل 1 نشان داده‌شده‌است. می‌بینید که در حالت ماندگار ، خروجی دقیقا برابر با ورودی‌است. از این رو خطای حالت ماندگار صفر‌است.
.
شکل1:
این پاسخ زمان تابع‌انتقال مرتبه اول مخالف مرحله ورودی است. دیده می‌شود که خطای حالت ماندگار صفر‌است
پاسخ این عملکرد به ورودی رمپ واحد در شکل2 نشان داده‌شده‌است. می‌بینید که در حالت ماندگار بین ورودی و خروجی تفاوت وجود‌دارد. از این رو برای ورودی رمپ واحد ، یک خطای حالت ماندگار وجود‌دارد.
شکل2:
این پاسخ عملکرد زمانی تابع‌انتقال مرتبه اول در برابر ورودی رمپ‌است. می‌بینید که خطای حالت ماندگار در این حالت وجود‌دارد
توجه داشته باشید که در بسیاری از کتابهای سیستم کنترل میتوانید متوجه شوید که در مقابل ورودی رمپ ، خطای حالت ماندگار یک تابع‌انتقال مرتبه اول برابر با ثابت زمانی‌است. از مشاهده شکل2 ، می‌توان دریافت که این واقعیت‌دارد. در زمان t = 3 ثانیه ، ورودی 3 و خروجی 2.3است. از این رو خطای حالت ماندگار 0.7است که برابر با ثابت زمانی برای این تابع‌انتقال مرتبه اول‌است.
لطفاً نکات مهم زیر را به خاطر بسپارید:
خطای حالت ماندگار بالاترین‌است اگر ورودی سهمی وار‌باشد (توان آن بالاتر باشد 2 ۳ و …) ، به طور کلی برای ورودی رمپ کمتراست و حتی برای ورودی پله حتی کمتراست. همانطور که در توضیحات بالا ، خطای حالت ماندگار در برابر تابع پله ورودی صفر‌است ، و در برابر ورودی رمپ 0.7است ، می‌توان دریافت که در برابر ورودی سهمی وار یا توان ۲ بی نهایت ∞است.
لازم به ذکر‌است که خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی‌دارد ، در حالی که ماندگاری به ورودی بستگی ندارد.
بیایید یک سیستم کنترل حلقه‌بسته با تابع انتقال زیر را در نظر بگیریم.
جایی که نمادها معنای معمول خود را دارند. ماندگاری سیستم به مخرج یعنی :
‘1+G(s)H(s)’. ‘1+G(s)H(s) = 0’ بستگی‌دارد که معادله مشخصه نامیده‌می‌شود ریشه های آن نشان‌دهنده ماندگاری سیستم‌است. خطای حالت ماندگار به (s)R بستگی‌دارد.
در سیستم کنترل حلقه‌بسته ، سیگنال خطا می‌توان با این فرمول 
محاسبه کرد. خطای حالت ماندگار می‌تواند به عنوان e ss =
یافت شود ، که خطای حالت ماندگار مقدار سیگنال خطا در حالت ماندگار‌است و از این می‌توانیم ببینیم که خطای حالت ماندگار به (s)R بستگی‌دارد.
• همانطور که در بالا ذکر شد به مخرج یعنی 1+G(s)H(s) بستگی‌دارد . در اینجا “1” ثابت‌است ، بنابراین پایداری بستگی به G (s ) H(s) دارد ، که بخشی از معادله
است‌که می‌تواند تغییر کند. بنابراین ، میتوانید نمودار Bode را درک‌کنید ، نمودار Nyquist با کمک G (s )H(s) ترسیم می‌شود ، اما نشان‌دهنده ماندگاری 
هستند .
• G (s ) H (s) یک تابع انتقال حلقه‌باز نامیده‌می‌شود و یک تابع انتقال حلقه‌بسته نامیده‌می‌شود. با تجزیه و تحلیل تابع انتقال حلقه‌باز یعنی G (s ) H(s)
، می‌توان پایداری تابع انتقال حلقه‌بسته را از طریق نمودار Bode و نمودار Nyquist پیدا‌کرد .
در ادامه
اکنون ، ما خطای حالت ماندگار در سیستم کنترل حلقه‌بسته را با چند مثال عددی توضیح خواهیم داد:
مثال-1:
سیستم کنترل زیر (سیستم-1) را همانطور که در شکل 3 نشان داده‌شده‌است در نظر بگیرید:
شکل3: سیستم حلقه‌بسته
ورودی مرجعRs یک تابع پله واحد‌است.
مقادیر مختلف حالت ماندگار System-1 در شکل4 نشان داده‌شده‌است.
شکل4: مقادیر مختلف حالت ماندگار در یک سیستم کنترل
می‌توان مشاهده‌کرد که مقدار حالت ماندگار، سیگنال خطا 0.5است ، از این رو خطای حالت ماندگار 0.5است.
اگر سیستم ماندگار‌باشد و سیگنال‌های مختلف ثابت‌باشد ،
می‌توان مقادیر مختلفی از حالت ماندگار را به شرح زیر بدست‌آورد:
در تابع‌انتقال به عنوان 
، حالت پایدار گین تابع‌انتقال را بدست می‌آورید.
میتوانید خروجی را به شرح زیر محاسبه‌کنید:
به یاد دارید که = تابع پله واحد= ، می‌توانیم این را دوباره تنظیم‌کنیم:
مقدار حالت ماندگار خروجی:
می‌توان از روش فوق برای محاسبه مقدار حالت ماندگار هر سیگنال استفاده‌کرد. برای مثال:
ورودی تابع پله واحد 
ورودی
مقدار حالت ماندگار آن 1 = 
به همین ترتیب ، سیگنال خطا می‌تواند به صورت زیر محاسبه‌شود:
مقدار حالت ماندگار سیگنال خطا (یعنی خطای حالت ماندگار):
همچنین
، از شکل 4 می‌توان دریافت که اختلاف بین ورودی و خروجی 5/0است.
از این رو خطای حالت ماندگار 0.5است.
روش دیگر برای محاسبه خطای حالت ماندگار به شرح زیر‌است:
محاسبه ضریب خطا موضعی 
Kp= ، در می‌یابید که Kp=1 ،
. همان جواب را پیدا خواهید‌کرد. 
ess=
اگر ورودی یک تابع پله واحد‌باشد. 
، سپس خطای حالت ماندگار e ss = 
اگر ورودی ورودی واحد شیب‌باشد ، پس از آن محاسبه، ضریب خطا سرعت 
Kv = ess=
اگر ورودی ورودی سهمی وار واحد‌باشد ، آنگاه محاسبه ، ضریب خطای سرعت 
Ka 
= ، e ss = .
با تجزیه و تحلیلKp ، KV وKa ، شما میتوانید درک‌کنید که چگونه خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی‌دارد.
خطای کنترل‌کننده و خطای حالت ثابت
کنترل‌کننده PI(کنترل‌کننده تناسبی به همراه کنترل‌کننده انتگرالی) خطای حالت ماندگار را کاهش می‌دهد (ess)، اما دارای اثر منفی بر ثبات‌است.
کنترل‌کننده های PI از این مزیت برخوردار هستند که خطای حالت ماندگار یک سیستم را کاهش می‌دهند
، در حالی که این عیب را نیز‌دارد که ثبات سیستم را کاهش می‌دهد.
یک کنترلر PI باعث کاهش پایداری می‌شود. این بدان معنی‌است که میرایی کاهش می‌یابد.
اورشوت و زمان نشست به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد.
ریشه های معادله مشخصه (قطب های تابع انتقال حلقه‌بسته) در سمت چپ به محور موهومی نزدیک تر می‌شوند.
همچنین درجه سیستم به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد که تمایل به کاهش ماندگاری‌دارد.
دو معادله مشخصه را در نظر بگیرید
، یکی s 3 + s 2 + 3s + 20 = 0 ، دیگری s 2 + 3s + 20 = 0است. فقط با مشاهده ، می‌توانیم بگوییم که سیستم مربوط به معادله اول نسبت به معادله دوم از پایداری کمتری برخوردار‌است.
با پیدا کردن ریشه های معادله میتوانید آن را تأیید‌کنید. بنابراین ، در می‌یابید که معادلات مشخصه مرتبه بالاتر از ماندگاری کمتری برخوردار هستند.
در حال حاضر، ما یک کنترل‌کننده PI(تناسبی به علاوه کنترل‌کننده انتگرالی) در سیستم-1 (شکل3) اضافه می‌کنیم و نتایج را بررسی می2کنیم. پس از قرار دادن کنترل‌کننده PI در سیستم-1، مقادیر مختلف حالت ماندگار در شکل5 نشان داده‌شده،که میتوانید ببینید که در آن خروجی دقیقا با ورودی مرجع برابر‌است.
این مزیت کنترلر PI است که خطای حالت ماندگار را به حداقل می‌رساند به طوری که خروجی سعی می‌کند ورودی مرجع را دنبال کند.
شکل5: اثر کنترل‌کننده PI را می‌توان در این نمودار مشاهده کرد
تابع انتقال کنترلر PI را می‌توان بر حسب 
یا می‌توان بر حسب 
حساب کرد. یک سؤال می‌توان پرسید که اگر ورودی هر تابع انتقال صفر باشد ، خروجی آن نیز باید صفر باشد. اما ، در این حالت که ورودی به کنترلر PI صفر‌است ، خروجی کنترل‌کننده PI یک مقدار محدود (یعنی 1)است. این توضیحات در هیچ کتاب سیستم کنترل ارائه‌نشده‌است ، از این رو ما در اینجا توضیح خواهیم داد:
(1) خطای حالت ماندگار دقیقاً صفر نیست ، تمایل آن به صفر‌است ، به همین ترتیب ریشه تابع برابر صفر نیست ،بلکه تمایل به صفر دارد ، بنابراین در هر صورت اجازه دهید خطای حالت ماندگار2×10 -3، در همان زمان باشد ( به خصوص صحبت ما در مورد ‘S’ در مخرج کنترل‌کننده PIاست ) ‘S’نیز برابر با 2×10 -3است . از این رو خروجی کنترل‌کننده PI برابر 1است.
بیایید یک سیستم کنترل دیگری که در شکل6 نشان داده شده‌است را در نظر بگیریم
:
شکل -6: نمونه ای از سیستم کنترل حلقه‌بسته با کنترل‌کننده PI
در این مورد، می‌توان گفت، در هر لحظه فرض کنید، خطای حالت ماندگار 2×10 -3است .در همان زمان ‘S’است برابر با 4×10-3 ؛ از این رو خروجی کنترلر PI برابر0.5است. این بدان معنی‌است که هر دو، essو s هر دو تمایل به صفر دارند، اما نسبت آنها یک مقدار محدود‌است.
در کتابهای سیستم کنترل هرگز s = 0 یا t = find را پیدا نخواهید کرد. شما همیشه مقدار‌های زیر را مشاهده خواهید کرد
(2) توضیح دوم این است که خطای حالت ماندگار صفر‌است ، ‘s’ در حالت ماندگار نیز صفر‌است.
تابع انتقال کنترلر PI است . در کتب ریاض‍یات خواهید دید که تعریف نشده‌است ،
بنابراین می‌تواند هر مقدار محدودی باشد (به شکل 7 مراجعه کنید).
شکل -7: ورودی به تابع انتقال صفر‌است اما خروجی یک مقدار محدود‌است
(3) توضیح سوم اینکه انتنگرال گیر‌است. ورودی صفر‌است ، انتگرال صفر تعریف نشده‌است.
بنابراین ممکن‌است خروجی کنترلر PI هر مقدار متناهی‌ای‌باشد.
یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل حلقه‌باز و سیستم کنترل حلقه‌بسته
در رابطه با توضیحات فوق ، ما یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل حلقه‌باز و سیستم کنترل حلقه‌بسته را توضیح خواهیم داد. شما میتوانید تفاوت در سیستم کنترل حلقه‌باز و سیستم کنترل حلقه‌بسته ، را در هر کتاب از سیستم کنترل پیدا‌کنید ، اما یکی از تفاوت های اساسی مربوط به توضیحات فوق در اینجا آورده شده‌است و حقیقتا امیدواریم که برای خوانندگان مفید‌باشد.
یک سیستم کنترل حلقه‌باز می‌تواند به شرح زیر‌باشد:
شکل 8: این یک نمودار از سیستم کنترل حلقه‌باز استاندارد‌است
سیستم کنترل حلقه‌بسته (سیستم کنترل بازخورد) به شرح زیر ارائه‌می‌شود:
شکل9: این یک نمودار از سیستم کنترل حلقه‌بسته استاندارد‌است
تابع انتقال سیستم ثابت‌است (تابع انتقال سیستم به دلیل تغییر محیط ، اختلالات و غیره می‌تواند به طور خودکار تغییر یابد) در تمام بحث ما H(s)=1فرض کرده‌ایم ؛ یک اپراتور می‌تواند تابع انتقال کنترلر را کنترل کند( یعنی پارامترهای کنترلر K p ، K d ، K i را تغییر دهد)
این کنترلر می‌تواند کنترل‌کننده تناسبی (کنترل‌کننده P)، کنترل‌کننده PI ، کنترل‌کننده PD ، کنترل‌کننده PID ، کنترل‌کننده منطق فازی و غیره باشد. ما دو انتظار از یک کنترلر داریم
(الف) حفظ پایداری ، یعنی میرایی باید در حدود 0.7-0.9 باشد. و زمان نشست و استقرار باید کم‌باشد
(ب) خطای حالت ماندگار باید حداقل باشد (باید صفر باشد.)
اما اگر ما سعی در افزایش میرایی داشته‌باشیم ، ممکن‌است خطای حالت ماندگار افزایش یابد.
بنابراین طراحی کنترلر باید به گونه ای باشد که هر دو (خطای ماندگاری و حالت ماندگار) در کنترل باشند.
طراحی بهینه کنترلر یک موضوع تحقیق گسترده‌است.
پیش از این توضیح دادیم که، کنترل‌کننده PI خطای حالت ماندگار را کاهش می‌دهد(ess) اما به شدت اثر منفی بر پایداری آن دارد
حال ، یک تفاوت اساسی بین سیستم کنترل حلقه‌باز و سیستم کنترل حلقه‌بسته را توضیح خواهیم داد که مربوط به توضیحات فوق‌است.
شکل 10 را در نظر بگیرید؛ این یک سیستم کنترل حلقه‌باز است.
شکل10: یک سیستم کنترل حلقه‌باز
ورودی یک تابع پله واحد است. بنابراین ، مقدار ماندگار ورودی “1”است. می‌توان محاسبه کرد که مقدار ماندگار خروجی “2”است.
فرض‌کنید به هر دلیلی تغییر در تابع انتقال [G (s)] سیستم ایجاد شده‌باشد ، تأثیر آن بر ورودی و خروجی چه خواهد‌بود؟ پاسخ این‌است که ورودی سیستم تغییر نخواهد کرد ، خروجی سیستم تغییر خواهد کرد.
حالا شکل11 و 12 را در نظر بگیرید
شکل11: سیستم کنترل حلقه‌بسته
شکل12: سیستم حلقه‌بسته ، خروجی کارخانه یکسان‌است اما ورودی سیستم به دلیل تغییر در تابع انتقال تغییر می‌کند
هر دو سیستم کنترل حلقه‌بسته هستند .
در شکل11 ، فرض کنید به هر دلیلی تغییری در تابع‌انتقال کارخانه ایجاد شده‌است ، تأثیر آن بر ورودی و خروجی چیست؟
در این حالت ، ورودی به سیستم تغییر می‌کند ، خروجی سیستم بدون تغییر باقی می‌ماند.
خروجی سیستم سعی می‌کند ورودی مرجع را دنبال کند.
شکل12 شرایط جدید را نشان می‌دهد ، که در آن پارامترهای سیستمی تغییر می‌کنند.
مشاهده می‌کنید ورودی سیستم از 0.5 به 0.476 تغییر یافته ، در حالی که خروجی تغییر نمی‌کند.
در هر دو مورد ورودی به کنترلر PI صفر‌است ،
مشخصات کنترلر PI یکسان‌است اما خروجی کنترلر PI متفاوت است.
بنابراین ، شما در میابید که ، در سیستم حلقه‌باز خروجی کارخانه تغییر می‌کند در حالی که در سیستم کنترل حلقه‌بسته ورودی به سیستم تغییر می‌کند. در‌کتابهای سیستم کنترل میتوانید عبارت زیر را پیدا‌کنید:
و در صورتی که پارامتر تابع انتقال سیستم متغیر‌باشد ،سیستم کنترل حلقه‌بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه‌باز حساسیت کمتری دارد (یعنی تغییر در خروجی سیستم کنترل حلقه‌بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه‌باز کمتراست).
لینک مرتبط :
تست چاه ارت -تست ارتینگ – باید ها و نباید ها و تردیدها
لینک زبان اصلی: